Relacion d'òrdre

En matematicas, una relacion d’òrdre dins un ensemble E es una relacion binària dins E que permet de comparar seis elements a cha dos d'un biais coerent (vejatz infra). Un ensemble provesit d’una relacion d’òrdre es un ensemble ordenat.

Un diagrama representant l'ensemble dei partidas de {x, y, z}, ordenat per inclusion.

Definitions e exemples

Relacion d'òrdre

Una relacion d'òrdre (o : un òrdre) dins un ensemble E es una relacion binària dins E reflexiva, transitiva e antisimetrica :

• reflexiva, se tot element es en relacion amb eu, çò es :

$\forall x\in E,\ x{\mathcal {R}}x\,$

• antisimetrica, se d'elements distints son jamai en relacion mutuala, çò es :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)]\Rightarrow (x=y)\,$

• transitiva, se dos elements son en relacion per l'intermediari d'un tresen, çò es :

$\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\ [(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)]\Rightarrow (x{\mathcal {R}}z)\,$

Es de bòn veire que se ${\mathcal {R}}$ es una relacion d'òrdre dins E, alora la relacion binària invèrsa ${\mathcal {R}}^{-1}$, definida per

$(x{\mathcal {R}}^{-1}y)$ se e solament se $(y{\mathcal {R}}x)$

es tanben una relacion d'òrdre dins E. En tota relacion d'òrdre es donc associada una relacion d'òrdre dicha invèrsa (pus pichon / pus grand, inferior / superior, divisor / multiple, etc.)

Se nòta sovent « ≤ » una relacion d'òrdre dins un ensemble E ; lo pareu (E, ≤) es sonat ensemble ordenat ; en aqueu cas, l'òrdre invèrs es notat « ≥ » ; per tot pareu (x, y) d'elements de E :

$x\leq y\quad \iff \quad y\geq x$ .

Exemples e còntraexemples

• Dins tot ensemble, l'egalitat es una relacion d'òrdre.

• Siá E un deis ensembles seguents :
  l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, l'ensemble $\mathbb {Z}$ deis entiers, l'ensemble $\mathbb {Q}$ dei racionaus, o l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus.
  • Dins l'ensemble E, la relacion binària « es inferior o egau a » es una relacion d'òrdre. Se definís ansin :
    $\forall \,x\in E,\forall \,y\in E\quad x\leq y\iff y-x\in E^{+}$
    onte $E^{+}=\{z\in E\mid z\geq 0\}$
  • Dins lo meteis ensemble E, la relacion binària « es estrictament inferior a » es pas una relacion d'òrdre car es pas reflexiva.

• La relacion binària definida dins l'ensemble $\mathbb {C}$ dei nombres complèxes per

$\forall \,x\in \mathbb {C} ,\forall \,y\in \mathbb {C} \quad x\leq y\iff y-x\in \mathbb {R} ^{+}$
es una relacion d'òrdre.

• Dins l'ensemble $\mathbb {N} ^{\ast }$ deis entiers naturaus non nuls, la relacion binària « es divisor de » es una relacion d'òrdre. Se definís ansin :
  $\forall \,x\in \mathbb {N} ^{\ast },\forall \,y\in \mathbb {N} ^{\ast }\quad x\mid y\iff \exists \,q\in \mathbb {N} ^{\ast },y=q\,x$

• Dins lo meteis ensemble $\mathbb {N} ^{\ast }$ , la relacion binària « es multiple de » es una relacion d'òrdre, invèrsa de la precedenta.

• Dins l'ensemble deis entiers non nuls, la relacion binària « es divisor de » es pas una relacion d'òrdre car es pas antisimetrica : 3 es divisor de −3 e −3 es divisor de 3, mai 3 es diferent de −3.

• Dins l'ensemble ${\mathcal {P}}(\Omega )$ dei partidas d'un ensemble $\ \Omega$. la relacion binària « es inclús dins » es una relacion d'òrdre (vejatz lo diagrama çai sus, onte l'inclusion d'una partida dins una autra es representada per una sageta).

Relacion d'òrdre estricte

A una relacion d'òrdre dins E notada « ≤ » s'associa naturalament sa restriccion, notada « < », ai pareus d'elements distints de E ». Per definicion :

(x < y) se e solament se (x ≤ y) e (x ≠ y)

Per oposicion a la nocion de relacion d'òrdre estricte (qu'es pas reflexiva), se ditz sovent qu'una relacion d'òrdre (au sens definit precedentament) es una relacion d'òrdre larg.

Òrdre totau, òrdre parciau

Definicions

• Estent una relacion d'òrdre (larg) « ≤ » dins un ensemble E, se ditz que dos elements x e y de E son comparables se (x ≤ y) o (y ≤ x) .

• Una relacion d’òrdre (larg) es totala se per tot pareu (x, y) d'elements de E, x e y de E son comparables. Un ensemble provesit d’una relacion d’òrdre totau es sonat ensemble totalament ordenat.

• Una relacion d’òrdre es parciala s'es pas totala, valent a dire qu'existís dos elements de E que son pas comparables. Un ensemble provesit d’una relacion d’òrdre parciau es sonat ensemble parcialament ordenat.

Exemples

• Dins un ensemble qu'a mai d'un element, l'egalitat es un òrdre parciau (dos elements diferents son jamai comparables).

• Cadun deis ensembles $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$, provesit de l'òrdre usuau $\leq$ , es totalament ordenat.

• L'ensemble $\mathbb {N} ^{\ast }$ , provesit de la relacion de divisibilitat, es parcialament ordenat ; per exemple, 2 e 3 son pas comparables per divisibilitat (2 es pas divisor de 3, e 3 es pas divisor de 2).

• L'ensemble ${\mathcal {P}}(\Omega )$ dei partidas d'un ensemble $\ \Omega$, provesit de la relacion d'inclusion, es parcialament ordenat dins lo cas que $\ \Omega$ a aumens dos elements (se a, b son dins $\Omega$ dos elements diferents, lei dos ensembles $\ \{a\}$, $\ \{b\}$ son pas comparables per inclusion).

Elements particulars d'un ensemble ordenat

Siá un ensemble ordenat (E, ≤).

Minimum, maximum

• Minimum, maximum de E
  • S'existís un element a de E tau que per tot element x de E, a ≤ x, se ditz que a es lo minimum de E.
  • S'existís un element b de E tau que per tot element x de E, x ≤ b, se ditz que b es lo maximum de E.

• Minimum, maximum d'un sosensemble de E
  Se generaliza lei definicions precedentas a una partida non vueja F de E
  • S'existís un element a de F tau que per tot element x de F, a ≤ x, se ditz que a es lo minimum de F.
  • S'existís un element b de F tau que per tot element x de F, x ≤ b, se ditz que b es lo maximum de F

Se pòt qu'existigue pas de minimum (o de maximum), mai se n'i a un, es unic (en causa de l'antisimetria).

Nota : s'utiliza lo mot extremum per designar un minimum o un maximum.

Exemples

• Ordenat per l'òrdre usuau, $\mathbb {N}$ a un minimum (0) e pas de maximum ; leis ensembles $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ an ges d'extremum.

• Ordenat per la relacion de divisibilitat, l'ensemble $\mathbb {N} ^{\ast }$ a un minimum (1) e pas de maximum.

• Ordenat per la relacion d'inclusion, ${\mathcal {P}}(\Omega )$ a un minimum (l'ensemble vuege $\varnothing$) e un maximum ($\Omega$).

Element minimau, element maximau

• S'existís un element a de E tau que $\{x\in E\mid x\leq a\}=\{a\}$ , se ditz que a es un element minimau de E (autrament dich, l'unic element x de E tau que x ≤ a es a).

• S'existís un element b de E tau que $\{x\in E\mid x\geq b\}=\{b\}$, se ditz que a es un element maximau de E (autrament dich, l'unic element x de E tau que x ≥ b es b)

S'existís dins E un minimum (respectivament un maximum), es lo solet element minimau (resp. maximau) de E. Dins lo cas d'un ensemble totalament ordenat, lei nocions de minimum e d'element minimau (resp. de maximum e d'element maximau) coïncidisson. Un ensemble parcialament ordenat pòt aver mai d'un element minimau e/o mai d'un element maximau.

Exemples

• Ordenat per la relacion de divisibilitat, l'ensemble $\mathbb {N} \setminus \{0,\,1\}$ a per elements minimaus lei nombres premiers.
• Ordenat per la relacion d'inclusion, l'ensemble dei partidas non vuejas d'un ensemble (non vuege) $\ \Omega$ a per elements minimaus lei singletons, çò es lei sosensembles qu'an ren qu'un element.

Minorant, majorant

Siá F un sosensemble non vuege de E.

• S'existís un element a de E tau que a ≤ x per tot element x de F, se ditz que a es un minorant de F. Lo sosensemble F es dich minorat (valent a dire qu'a aumens un minorant).

• S'existís un element b de E tau que x ≤ b per tot element x de F, se ditz que b es un majorant de F. Lo sosensemble F es dich majorat (valent a dire qu'a aumens un majorant).

• Se ditz que F es boinat (o bornat, bolat) s'es au còp minorat e majorat.

Boina inferiora, boina superiora

Siá F un sosensemble non vuege de E.

• Se F es minorat, e se l'ensemble de sei minorants a un maximum, aquest es sonat boina inferiora (o bòrna inferiora, bòla ...) de E e es notat : $\inf F$.

• Se F es majorat, e se l'ensemble de sei majorants a un minimum, aquest es sonat boina superiora (o bòrna superiora, bòla ...) de E e es notat : $\sup F$.

Se F a un minimum (resp. un maximum) alora a una boina inferiora (resp. una boina superiora) que coïncidís amb eu. Mai, reciprocament, l'existéncia d'una boina inferiora (resp. d'una boina superiora) implica pas l'existéncia d'un minimum (resp. d'un maximum).

Una proprietat remarcabla de l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus, provesit de l'òrdre usuau, es que tota partida non vueja e minorada (resp. majorada) a una boina inferiora (resp. una boina superiora).

Exemple

• Dins l'ensemble $\mathbb {R}$ , provesit de l'òrdre usuau, l'interval $\,]0,\,1]=\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x\leq 1\}$ a una boina inferiora (0) mai pas de minimum, e una boina superiora (1) qu'es tanben son maximum.

Ensemble ben ordenat

Se ditz qu'una relacion d’òrdre dins un ensemble E es un bòn òrdre se tota partida non vueja d'aquel ensemble admet un element minimum (un pus pichon element). Un ensemble provesit d'un bòn òrdre es sonat ensemble ben ordenat.

Un bòn òrdre es necessariament un òrdre totau, mai la recipròca es faussa (vejatz infra). L'axiòma de Zermelo, equivalent a l'axiòma de la chausida, afierma que tot ensemble pòt èsser ben ordenat.

Exemples e còntraexemples

• Tot òrdre totau dins un ensemble finit es un bòn òrdre.

• L'òrdre totau usuau dins l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus es un bòn òrdre.

• L'òrdre totau usuau dins l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus es pas un bòn òrdre ; per exemple, l'interval $\,]0,\,1]$ a pas d'element minimum.

Compatibilitat amb una lèi de composicion intèrna

Se ditz qu'una relacion d’òrdre « ≤ » dins un ensemble E provesit d’una lèi de composicion intèrna « $*\,$ » es compatibla amb aquela lèi se :

quins que sián x, y, z elements de E,   (x ≤ y)   implica     (x $*\,$ z   ≤   y $*\,$ z)   e   (z $*\,$ x   ≤   z $*\,$ y)

En aqueu cas :

quins que sián x, y, z, w elements de E,   (x ≤ y) e (z ≤ w)   implica     (x $*\,$ z   ≤   y $*\,$ w)  

Per exemple :

• L'òrdre totau usuau dins l'ensemble dei reaus es compatible amb l'addicion mai pas amb la multiplicacion.

• L'òrdre totau usuau dins l'ensemble dei reaus positius es compatible amb la multiplicacion.

Vejatz tanben

• Relacion binària